十手を引く確率

某所で十手が出る確率云々の話を見かけました。130回開けて1枚しか出なかったとあります。レアは55種類なので期待値は2.4ぐらいになりますから、不運であることに間違いはないのですが、具体的にどれぐらい不運なのかちょっと計算してみました。

x種類のレアのうちの1枚が等確率で含まれるパックをy回開けたとします。この場合、全てのパターンを列挙するとx^y通りになります。このうち、特定の1種類（のレア）を1回も引かない場合は(x-1)^y通りなので、確率で表すと{(x-1)/x}^yです。また、特定の1種類が出る期待値はy/xです。ここまでは、簡単ですね。

次に、特定の1種類をちょうどz枚引く確率を考えます。これは、そのz枚がy枚中のどこに出てくるかと、残りのy-z枚にその特定のカードが含まれていないこととに分けて考えます。前者はyPz、後者は(x-1)^(y-z)なので、最終的に求める確率は｛yPz*(x-1)^(y-z)}/(x^y)となります。

ここで、x=55，y=130，z=1を代入すると、答えは約22.2％と出ました。4，5人に1人はそういう人がいる計算になります。また、z=0だと約9.2％なので、11人に1人ぐらいは1枚も引かない人がいる計算になります。

という訳で、不運には違いないですが、有意に偏ってると言えるほどではないかと思います。

＃間違ってる可能性もかなりあります。その場合、誰か正解を教えてください。